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Prueba por contradicción
Con una "reductio ad absurdum" se puede demostrar que no hay un número primo mayor.
Explicación
Si existe un número finito de primos, entonces puedes determinar el producto P de todos los números primeros.
¿Ahora preguntarás: es el número P + 1 un número primo?
La respuesta es "no", porque ya hemos utilizado todos los primos para calcular P. Pero también puedes utilizar la respuesta "sí", porque puedes dividir P de cualquier primer y no es posible por P + 1. Entonces P + 1 es un número primo. Pero eso es totalmente contradictorio con el punto de partida en el que se afirma que existen un número finito de números primos.
Nuestra conclusión debe ser que hay infinitamente muchos números primos, y así no hay ningún número primo más grande.